Gaußsche Glättung Gemeinsame Namen: Gaußsche Glättung Kurze Beschreibung Der Gaußsche Glättungsoperator ist ein 2-D-Faltungsoperator, der verwendet wird, um Bilder zu verwischen und Details und Rauschen zu entfernen. In diesem Sinne ist es ähnlich dem mittleren Filter. Aber es verwendet einen anderen Kernel, der die Form eines Gaußschen (glockenförmigen) Hump repräsentiert. Dieser Kernel hat einige spezielle Eigenschaften, die unten detailliert beschrieben werden. Wie es funktioniert Die Gaußsche Verteilung in 1-D hat die Form: wo ist die Standardabweichung der Verteilung. Wir haben auch angenommen, daß die Verteilung einen Mittelwert von Null hat (d. H. Sie ist auf der Linie x & sub0; zentriert). Die Verteilung ist in Abbildung 1 dargestellt. Abbildung 1 1-D Gaußsche Verteilung mit Mittelwert 0 und 1 In 2-D hat eine isotrope (dh zirkulär symmetrische) Gaußsche Form die folgende Form: Diese Verteilung ist in Abbildung 2 dargestellt Gaußsche Verteilung mit Mittelwert (0,0) und 1 Die Idee der Gaußschen Glättung besteht darin, diese 2-D-Verteilung als Punktverteilungsfunktion zu verwenden, was durch Faltung erreicht wird. Da das Bild als eine Sammlung von diskreten Pixeln gespeichert wird, müssen wir eine diskrete Annäherung an die Gaußsche Funktion erzeugen, bevor wir die Faltung durchführen können. In der Theorie ist die Gaußsche Verteilung überall ungleich Null, was einen unendlich großen Faltungskernel erfordern würde, aber in der Praxis ist er effektiv null mehr als etwa drei Standardabweichungen vom Mittelwert, und so können wir den Kernel an diesem Punkt abschneiden. Fig. 3 zeigt einen geeigneten ganzzahligen Faltungskern, der einem Gaußschen mit a von 1,0 annähert. Es ist nicht offensichtlich, wie die Werte der Maske ausgewählt werden, um einen Gaussian zu approximieren. Man könnte den Wert des Gaußschen in der Mitte eines Pixels in der Maske verwenden, aber dies ist nicht genau, da der Wert des Gaußschen nichtlinear über dem Pixel variiert. Wir integrierten den Wert des Gaussian über das gesamte Pixel (durch Summieren des Gaussian in 0,001 Inkrementen). Die Integrale sind keine Ganzzahlen: Wir haben das Array so skaliert, dass die Ecken den Wert 1 haben. Schließlich ist die 273 die Summe aller Werte in der Maske. Abbildung 3 Diskrete Annäherung an die Gaußsche Funktion mit 1,0 Sobald ein geeigneter Kernel berechnet wurde, kann die Gaußsche Glättung mit Standard-Faltungsmethoden durchgeführt werden. Die Faltung kann tatsächlich ziemlich schnell durchgeführt werden, da die Gleichung für den oben gezeigten 2-D isotropen Gaussian in x - und y-Komponenten trennbar ist. Somit kann die 2-D-Faltung durchgeführt werden, indem zuerst mit einem 1-D-Gaussian in x-Richtung gefaltet wird und dann mit einem anderen 1-D-Gaussian in y-Richtung gefaltet wird. (Der Gaußsche ist tatsächlich der einzige vollständig kreisförmige symmetrische Operator, der auf diese Weise zerlegt werden kann.) Fig. 4 zeigt den 1-Dx-Komponentenkern, der verwendet werden würde, um den in Fig. 3 gezeigten Vollkern (nach Skalierung um 273) zu erzeugen , Rundung und Trunkierung eine Reihe von Pixeln um die Grenze, weil sie meist den Wert 0 haben. Dies reduziert die 7x7 Matrix auf die 5x5 oben gezeigt.). Die y-Komponente ist genau dieselbe, ist aber vertikal ausgerichtet. Fig. 4 Eines des Paares von 1-D-Faltungskernen, die verwendet werden, um den in Fig. 3 gezeigten Vollkern schneller zu berechnen. Ein weiterer Weg, eine Gaußsche Glättung mit einer großen Standardabweichung zu berechnen, besteht darin, ein Bild mehrmals mit einem kleineren Gaußschen zu falten. Während dies rechenkomplex ist, kann es Anwendbarkeit haben, wenn die Verarbeitung unter Verwendung einer Hardware-Pipeline durchgeführt wird. Der Gaußfilter hat nicht nur einen Nutzen für technische Anwendungen. Sie erregt auch Aufmerksamkeit von Computerbiologen, weil sie mit einer gewissen biologischen Plausibilität, z. B. Haben einige Zellen in den Sehwegen des Gehirns oft eine annähernd Gaußsche Antwort. Gebrauchsanweisung Die Wirkung der Gaußschen Glättung besteht darin, ein Bild, ähnlich dem mittleren Filter, zu verwischen. Der Glättungsgrad wird durch die Standardabweichung des Gaußschen bestimmt. (Größere Standardabweichung Gaussianer benötigen natürlich grßere Faltungskörner, um genau dargestellt zu werden.) Der Gaussian gibt einen gewichteten Durchschnitt jeder Pixelnachbarschaft aus, wobei der Durchschnitt stärker zum Wert der zentralen Pixel hin gewichtet wird. Dies steht im Gegensatz zu den mittleren Filtern gleichmäßig gewichtetem Durchschnitt. Aus diesem Grund bietet ein Gaußschöner eine sanftere Glättung und bewahrt Kanten besser als ein ähnlich bemessener mittlerer Filter. Eine der prinzipiellen Begründungen für die Verwendung des Gaußschen als Glättungsfilter ist auf seinen Frequenzgang zurückzuführen. Die meisten Faltungsbasierten Glättungsfilter wirken als Tiefpaßfilter. Das bedeutet, dass ihre Wirkung darin besteht, Komponenten hoher räumlicher Frequenz aus einem Bild zu entfernen. Der Frequenzgang eines Faltungsfilters, d. H. Seine Auswirkung auf verschiedene Ortsfrequenzen, kann gesehen werden, indem die Fourier-Transformation des Filters genommen wird. Fig. 5 zeigt die Frequenzantworten eines 1-D-Mittelfilters mit der Breite 5 und auch eines Gaußfilters mit 3. Fig. 5 Frequenzantworten des Boxfilters (d. Mittelwertfilter) (Breite 5 Pixel) und des Gaußfilters (3 Pixel). Die Ortsfrequenzachse wird in Zyklen pro Pixel markiert, und daher hat kein Wert über 0,5 eine reale Bedeutung. Beide Filter dämpfen hohe Frequenzen mehr als tiefe Frequenzen, aber das mittlere Filter weist Oszillationen in seinem Frequenzgang auf. Der Gaussian hingegen zeigt keine Schwingungen. Tatsächlich ist die Form der Frequenzantwortkurve selbst (halb) Gaußscher. Wenn wir also einen entsprechend großen Gaußschen Filter auswählen, können wir ziemlich sicher sein, welchen Bereich der räumlichen Frequenzen im Bild nach der Filterung noch vorhanden sind, was bei dem mittleren Filter nicht der Fall ist. Dies hat Konsequenzen für einige Kantendetektionstechniken, wie im Abschnitt über Nulldurchgänge erwähnt. (Der Gaußsche Filter entpuppt sich ebenfalls sehr ähnlich dem optimalen Glättungsfilter für die Kantenerfassung unter den Kriterien, die verwendet werden, um den Canny-Randdetektor abzuleiten.), Um den Effekt des Glättens mit aufeinanderfolgend größeren und größeren Gaußfilter zu veranschaulichen. Zeigt den Effekt der Filterung mit einem Gaussian von 1,0 (und Kerngröße 52155). Zeigt den Effekt der Filterung mit einem Gaußschen von 2,0 (und Kerngröße 92159). Zeigt den Effekt der Filterung mit einem Gaussian von 4,0 (und Kerngröße 1521515). Wir erwägen nun die Verwendung des Gaußschen Filters zur Rauschunterdrückung. Betrachten wir beispielsweise das Bild, das durch Gauss'sche Rauschen mit einem Mittelwert von Null und 8 verdorben wurde. Glättung dieses mit einer 52155 Gauss'schen Ausbeute (Vergleiche dieses Ergebnis mit dem, was durch die Mittel - und Medianfilter erreicht wird). Salz - und Pfeffergeräusche sind schwieriger Für einen Gaußfilter. Hier glätten wir das Bild, das durch 1 Salz - und Pfefferrauschen verdorben wurde (d. h. einzelne Bits wurden mit Wahrscheinlichkeit 1 umgedreht). Das Bild zeigt das Ergebnis der Gaußschen Glättung (mit derselben Faltung wie oben). Vergleichen Sie dies mit dem ursprünglichen Hinweis, dass viel von dem Rauschen noch existiert und dass es, obwohl es in der Größenordnung etwas abgenommen hat, es über eine größere räumliche Region geschmiert worden ist. Das Erhöhen der Standardabweichung verringert / verschleiert die Intensität des Rauschens weiter, dämpft aber auch hochfrequente Details (z. B. Kanten) erheblich, wie in Interactive Experimentation gezeigt. Sie können interaktiv mit diesem Operator experimentieren, indem Sie hier klicken. Übungen Ausgehend von dem Gaußschen Rauschen (Mittelwert 0, 13) berechnen korrigierte Bilder sowohl mittlere Filter - als auch Gaußsche Filterglättung bei verschiedenen Skalen und vergleichen sie jeweils in Bezug auf Rauschentfernung und Detailverlust. Bei wievielen Standardabweichungen vom Mittelwert sinkt ein Gaußscher Wert auf 5 seines Spitzenwertes. Auf dieser Basis wird eine geeignete Quadratkorngröße für einen Gaußschen Filter mit s vorgeschlagen. Schätzen Sie den Frequenzgang eines Gaußschen Filters durch Gaußsche Glättung eines Bildes und seine Fourier-Transformation sowohl vor als auch nachher ab. Vergleichen Sie dies mit dem Frequenzgang eines mittleren Filters. Wie verhält es sich mit der Zeit zum Glätten mit einem Gaußschen Filter, um mit einem mittleren Filter für einen Kernel gleicher Größe zu glätten? Beachten Sie, dass in beiden Fällen die Faltung erheblich beschleunigt werden kann, indem bestimmte Funktionen des Kernels genutzt werden. Referenzen E. Davies Machine Vision: Theorie, Algorithmen und Praktiken. Academic Press, 1990, S. 42 - 44. R. Gonzalez und R. Woods Digitale Bildverarbeitung. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, S. 191. R. Haralick und L. Shapiro Computer and Robot Vision. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, Bd. 1, Kap. 7. B. Horn-Roboter-Sicht. MIT Press, 1986, Kap. 8. D. Vernon Machine Vision. Prentice-Hall, 1991, S. 59 - 61, 214. Lokale Informationen Spezielle Informationen zu diesem Operator finden Sie hier. Weitere allgemeine Hinweise zur lokalen HIPR-Installation finden Sie im Einleitungsbereich von Local Information. Smoothing Images Die folgende Erklärung gehört zum Buch Computer Vision: Algorithmen und Anwendungen von Richard Szeliski und LearningOpenCV Smoothing. Auch Unschärfe genannt. Ist eine einfache und häufig verwendete Bildverarbeitungsoperation. Es gibt viele Gründe für Glättung. In diesem Tutorial konzentrieren wir uns auf Glättung, um das Rauschen zu reduzieren (andere Verwendungen werden in den folgenden Tutorials zu sehen sein). Um einen Glättungsvorgang durchzuführen, setzen wir einen Filter auf unser Bild. Die gebräuchlichsten Filter sind linear. In dem ein Ausgangspixelwert (d. h.) als gewichtete Summe von Eingangspixelwerten (d. h.) bestimmt wird: Es hilft, einen Filter als ein Fenster von Koeffizienten zu visualisieren, die über das Bild gleiten. Es gibt viele Arten von Filtern, hier werden wir die am häufigsten verwendeten: Normalized Box Filter Dieser Filter ist der einfachste von jedem Output-Pixel ist der Mittelwert der Kernel-Nachbarn (alle von ihnen mit gleichem Gewicht beitragen) Der Kernel ist unten: Gaussian Filter Wahrscheinlich der nützlichste Filter (wenn auch nicht der schnellste). Die Gaußsche Filterung wird durchgeführt, indem jeder Punkt in dem Eingangsarray mit einem Gaußschen Kernel gefaltet wird und dann alle Summen addiert werden, um das Ausgangsarray zu erzeugen. Um das Bild klarer zu machen, denken Sie daran, wie ein 1D-Gaußscher Kernel aussieht. Angenommen, dass ein Bild 1D ist, können Sie feststellen, dass das Pixel in der Mitte das größte Gewicht hat. Das Gewicht seiner Nachbarn nimmt ab, wenn der räumliche Abstand zwischen ihnen und dem mittleren Pixel zunimmt. Denken Sie daran, dass ein 2D-Gaussian dargestellt werden kann als: Median Filter Der Medianfilter durchlaufen jedes Element des Signals (in diesem Fall das Bild) und ersetzen jedes Pixel durch den Median seiner benachbarten Pixel (die sich in einer quadratischen Nachbarschaft um das ausgewertete Pixel befinden ). Bilateraler Filter Bisher haben wir einige Filter, die Hauptziel ist es, ein Eingangsbild zu glätten erklärt. Doch manchmal lösen die Filter nicht nur das Rauschen, sondern glätten auch die Kanten. Um dies zu vermeiden (zumindest in einem gewissen Ausmaß), können wir einen bilateralen Filter verwenden. In analoger Weise wie der Gaußsche Filter berücksichtigt das zweiseitige Filter auch die benachbarten Pixel mit Gewichten, die jedem von ihnen zugewiesen sind. Diese Gewichte haben zwei Komponenten, wobei die erste die gleiche Gewichtung ist, die von dem Gaußschen Filter verwendet wird. Die zweite Komponente berücksichtigt die Intensitätsdifferenz zwischen den benachbarten Pixeln und der ausgewerteten. Für eine genauere Erläuterung können Sie diesen Link überprüfen Code Was bedeutet dieses Programm Lädt ein Bild Gilt 4 verschiedene Filterarten (erklärt in Theorie) und zeigt die gefilterten Bilder nacheinander Erläuterung Let8217s prüfen die OpenCV-Funktionen, die nur das Glättungsverfahren betreffen, da Der Rest ist bereits bekannt. Normalisierter Blockfilter: OpenCV bietet die Funktion Unschärfe, um eine Glättung mit diesem Filter durchzuführen. Wir geben 4 Argumente an (mehr Details, siehe Referenz): src. Quellbild dst. Zielbild Größe (w, h). Definiert die Größe des zu verwendenden Kernels (von Breite w Pixel und Höhe h Pixel) Punkt (-1, -1). Gibt an, wo sich der Ankerpunkt (das ausgewertete Pixel) in Bezug auf die Nachbarschaft befindet. Wenn es einen negativen Wert gibt, dann wird die Mitte des Kerns als der Ankerpunkt betrachtet. Es wird von der Funktion GaussianBlur ausgeführt: Hier verwenden wir 4 Argumente (weitere Details finden Sie in der OpenCV-Referenz): Dokumentation tsmovavg Ausgabe tsmovavg (tsobj, s, lag) liefert den einfachen gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt tsobj. Verzögerung gibt die Anzahl der vorherigen Datenpunkte an, die beim Berechnen des gleitenden Mittelwerts mit dem aktuellen Datenpunkt verwendet werden. Ausgabe tsmovavg (Vektor, s, lag, dim) gibt den einfachen gleitenden Durchschnitt für einen Vektor zurück. Verzögerung gibt die Anzahl der vorherigen Datenpunkte an, die beim Berechnen des gleitenden Mittelwerts mit dem aktuellen Datenpunkt verwendet werden. Output tsmovavg (tsobj, e, timeperiod) gibt den exponentiellen gewichteten gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt tsobj zurück. Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt, wobei die Zeitperiode den Zeitraum angibt. Exponentielle gleitende Durchschnitte reduzieren die Verzögerung durch mehr Gewicht auf die jüngsten Preise. Zum Beispiel gewichtet ein 10-Perioden-exponentieller gleitender Durchschnitt den jüngsten Preis um 18,18. Exponentialprozent 2 / (TIMEPER 1) oder 2 / (WINDOWSIZE 1). Output tsmovavg (Vektor, e, timeperiod, dim) gibt den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt für einen Vektor zurück. Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt, wobei die Zeitperiode den Zeitraum angibt. Exponentielle gleitende Durchschnitte reduzieren die Verzögerung durch mehr Gewicht auf die jüngsten Preise. Zum Beispiel gewichtet ein 10-Perioden-exponentieller gleitender Durchschnitt den jüngsten Preis um 18,18. (2 / (Zeitabschnitt 1)). Ausgabe tsmovavg (tsobj, t, numperiod) gibt den dreieckigen gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt tsobj zurück. Der dreieckige gleitende Durchschnitt doppelt glättet die Daten. Tsmovavg berechnet den ersten einfachen gleitenden Durchschnitt mit Fensterbreite von ceil (numperiod 1) / 2. Dann berechnet es einen zweiten einfachen gleitenden Durchschnitt auf dem ersten gleitenden Durchschnitt mit der gleichen Fenstergröße. Ausgabe tsmovavg (Vektor, t, numperiod, dim) gibt den dreieckigen gleitenden Durchschnitt für einen Vektor zurück. Der dreieckige gleitende Durchschnitt doppelt glättet die Daten. Tsmovavg berechnet den ersten einfachen gleitenden Durchschnitt mit Fensterbreite von ceil (numperiod 1) / 2. Dann berechnet es einen zweiten einfachen gleitenden Durchschnitt auf dem ersten gleitenden Durchschnitt mit der gleichen Fenstergröße. Output tsmovavg (tsobj, w, gewichte) liefert den gewichteten gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt tsobj. Indem Gewichte für jedes Element in dem sich bewegenden Fenster bereitgestellt werden. Die Länge des Gewichtsvektors bestimmt die Größe des Fensters. Wenn größere Gewichtungsfaktoren für neuere Preise und kleinere Faktoren für frühere Preise verwendet werden, ist der Trend eher auf die jüngsten Veränderungen ansprechen. Ausgabe tsmovavg (Vektor, w, Gewichte, dim) gibt den gewichteten gleitenden Durchschnitt für den Vektor zurück, indem Gewichte für jedes Element in dem sich bewegenden Fenster geliefert werden. Die Länge des Gewichtsvektors bestimmt die Größe des Fensters. Wenn größere Gewichtungsfaktoren für neuere Preise und kleinere Faktoren für frühere Preise verwendet werden, ist der Trend eher auf die jüngsten Veränderungen ansprechen. Output tsmovavg (tsobj, m, numperiod) gibt den modifizierten gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt tsobj zurück. Der modifizierte gleitende Durchschnitt ist ähnlich dem einfachen gleitenden Durchschnitt. Betrachten Sie das Argument numperiod als die Verzögerung des einfachen gleitenden Mittelwerts. Der erste modifizierte gleitende Durchschnitt wird wie ein einfacher gleitender Durchschnitt berechnet. Die folgenden Werte werden durch Addition des neuen Preises und Subtrahieren des letzten Durchschnitts aus der resultierenden Summe berechnet. Ausgabe tsmovavg (Vektor, m, numperiod, dim) gibt den modifizierten gleitenden Durchschnitt für den Vektor zurück. Der modifizierte gleitende Durchschnitt ist ähnlich dem einfachen gleitenden Durchschnitt. Betrachten Sie das Argument numperiod als die Verzögerung des einfachen gleitenden Mittelwerts. Der erste modifizierte gleitende Durchschnitt wird wie ein einfacher gleitender Durchschnitt berechnet. Die folgenden Werte werden durch Addition des neuen Preises und Subtrahieren des letzten Durchschnitts aus der resultierenden Summe berechnet. Dim 8212 Dimension, um auf positive ganze Zahl mit dem Wert 1 oder 2 arbeiten Dimension zu arbeiten, als eine positive Ganzzahl mit einem Wert von 1 oder 2 angegeben. Dim ist ein optionales Eingabeargument, und wenn es nicht als eine Eingabe enthalten ist, die Standardeinstellung Wert 2 wird angenommen. Der Standardwert von dim 2 gibt eine zeilenorientierte Matrix an, wobei jede Zeile eine Variable ist und jede Spalte eine Beobachtung ist. Wenn dim 1. die Eingabe als Spaltenvektor oder spaltenorientierte Matrix angenommen wird, wobei jede Spalte eine Variable und jede Zeile eine Beobachtung ist. E 8212 Indikator für exponentiell gleitenden durchschnittlichen Charaktervektor Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt, wobei der Zeitabschnitt der Zeitraum des exponentiellen gleitenden Durchschnitts ist. Exponentielle gleitende Durchschnitte reduzieren die Verzögerung durch mehr Gewicht auf die jüngsten Preise. Zum Beispiel gewichtet ein 10-Perioden-exponentieller gleitender Durchschnitt den jüngsten Preis um 18,18. Exponentialprozent 2 / (TIMEPER 1) oder 2 / (WINDOWSIZE 1) Zeitintervall 8212 Zeitdauer nichtnegative Ganzzahl Wählen Sie Ihr CountryMoving Average Filter (MA Filter) Loading. Das gleitende Mittelfilter ist ein einfaches Tiefpassfilter (Finite Impulse Response), das üblicherweise zum Glätten eines Arrays von abgetasteten Daten / Signalen verwendet wird. Es nimmt M Abtastwerte von Eingang zu einem Zeitpunkt und nimmt den Durchschnitt dieser M-Abtastwerte und erzeugt einen einzigen Ausgangspunkt. Es ist eine sehr einfache LPF (Low Pass Filter) Struktur, die praktisch für Wissenschaftler und Ingenieure, um unerwünschte laute Komponente aus den beabsichtigten Daten zu filtern kommt. Mit zunehmender Filterlänge (Parameter M) nimmt die Glätte des Ausgangs zu, während die scharfen Übergänge in den Daten zunehmend stumpf werden. Dies impliziert, dass dieses Filter eine ausgezeichnete Zeitbereichsantwort, aber einen schlechten Frequenzgang aufweist. Der MA-Filter erfüllt drei wichtige Funktionen: 1) Es benötigt M Eingangspunkte, berechnet den Mittelwert dieser M-Punkte und erzeugt einen einzelnen Ausgangspunkt 2) Aufgrund der Berechnungen / Berechnungen. Führt das Filter eine bestimmte Verzögerung ein 3) Das Filter wirkt als ein Tiefpaßfilter (mit einer schlechten Frequenzbereichsantwort und einer guten Zeitbereichsantwort). Matlab-Code: Der folgende Matlab-Code simuliert die Zeitbereichsantwort eines M-Point Moving Average Filters und zeigt auch den Frequenzgang für verschiedene Filterlängen. Time Domain Response: Auf dem ersten Plot haben wir die Eingabe, die in den gleitenden Durchschnitt Filter geht. Der Eingang ist laut und unser Ziel ist es, den Lärm zu reduzieren. Die nächste Abbildung ist die Ausgangsantwort eines 3-Punkt Moving Average Filters. Es kann aus der Figur abgeleitet werden, dass der Filter mit 3-Punkt-Moving-Average bei der Filterung des Rauschens nicht viel getan hat. Wir erhöhen die Filterabgriffe auf 51 Punkte und wir können sehen, dass sich das Rauschen im Ausgang stark reduziert hat, was in der nächsten Abbildung dargestellt ist. Wir erhöhen die Anzapfungen weiter auf 101 und 501, und wir können beobachten, dass auch wenn das Rauschen fast Null ist, die Übergänge drastisch abgebaut werden (beobachten Sie die Steilheit auf beiden Seiten des Signals und vergleichen Sie sie mit dem idealen Ziegelwandübergang Unser Eingang). Frequenzgang: Aus dem Frequenzgang kann behauptet werden, dass der Roll-off sehr langsam ist und die Stopbanddämpfung nicht gut ist. Bei dieser Stoppbanddämpfung kann klar sein, daß der gleitende Mittelfilter nicht ein Frequenzband von einem anderen trennen kann. Wie wir wissen, führt eine gute Leistung im Zeitbereich zu einer schlechten Leistung im Frequenzbereich und umgekehrt. Kurz gesagt, der gleitende Durchschnitt ist ein außergewöhnlich guter Glättungsfilter (die Aktion im Zeitbereich), aber ein außergewöhnlich schlechtes Tiefpaßfilter (die Aktion im Frequenzbereich) Externe Links: Empfohlene Bücher: Primäre SidebarSmoothing In vielen Experimenten in der Wissenschaft Ändern sich die wahren Signalamplituden (y-Achsenwerte) ziemlich glatt als Funktion der x-Achsenwerte, während viele Arten von Rauschen als schnelle, zufällige Änderungen der Amplitude von Punkt zu Punkt innerhalb des Signals gesehen werden. In letzterem Fall kann es in einigen Fällen nützlich sein, das Rauschen durch einen sogenannten Glättungsvorgang zu reduzieren. Bei der Glättung werden die Datenpunkte eines Signals so modifiziert, dass einzelne Punkte, die höher sind als die unmittelbar benachbarten Punkte (vermutlich wegen des Rauschens), reduziert werden und Punkte, die niedriger als die benachbarten Punkte sind, erhöht werden. Dies führt natürlich zu einem glatteren Signal (und einer langsameren Sprungantwort auf Signaländerungen). Solange das echte darunterliegende Signal tatsächlich glatt ist, wird das wahre Signal durch Glättung nicht viel verzerrt, aber das Rauschen wird reduziert. Hinsichtlich der Frequenzkomponenten eines Signals wirkt ein Glättungsvorgang als Tiefpaßfilter. Wodurch die hochfrequenten Komponenten reduziert und die niederfrequenten Komponenten mit geringem Wandel geleitet werden. Glättungsalgorithmen. Die meisten Glättungsalgorithmen basieren auf der Verschiebungs - und Multiplikationstechnik, bei der eine Gruppe von benachbarten Punkten in den ursprünglichen Daten punktweise durch einen Satz von Zahlen (Koeffizienten) multipliziert wird, die die glatte Form definieren, die Produkte werden addiert und Geteilt durch die Summe der Koeffizienten, die ein Punkt von geglätteten Daten wird, dann wird der Satz von Koeffizienten um einen Punkt nach unten auf die ursprünglichen Daten verschoben und der Prozess wird wiederholt. Der einfachste Glättungsalgorithmus ist der rechteckige Kastenwagen oder der ungewichtete gleitende Durchschnitt glatt, er ersetzt einfach jeden Punkt im Signal mit dem Mittel von m benachbarten Punkten, wobei m eine positive ganze Zahl ist, die die glatte Breite genannt wird. Für einen 3-Punkt glatt (m 3): für j 2 bis n-1, wobei S j der j-te Punkt in dem geglätteten Signal, Y j der j-te Punkt in dem ursprünglichen Signal ist und n die Gesamtsumme ist Anzahl der Punkte im Signal. Ähnliche glatte Operationen können für jede gewünschte glatte Breite konstruiert werden. Normalerweise ist m eine ungerade Zahl. Wenn das Rauschen in den Daten weißes Rauschen (dh gleichmäßig über alle Frequenzen verteilt) ist und seine Standardabweichung s ist. Dann beträgt die Standardabweichung des Rauschens, das nach dem ersten Durchgang einer ungewichteten gleitenden mittleren Glattheit im Signal verbleibt, ungefähr s über der Quadratwurzel von m (s / sqrt (m)), wobei m die glatte Breite ist. Trotz seiner Einfachheit ist dieses glatte Optimum für das gemeinsame Problem des Reduzierens des weißen Rauschens optimal, während die schärfste Sprungantwort beibehalten wird. Die Antwort auf eine Stufenänderung ist tatsächlich linear. So daß dieser Filter den Vorteil hat, daß er ohne Resteffekt mit seiner Reaktionszeit vollständig reagiert. Die gleich der glatten Breite ist, geteilt durch die Abtastrate. Das Dreieck glatt ist wie das rechteckige glatt, oben, außer dass es eine gewichtete Glättung Funktion implementiert. Für einen 5-Punkt glatt (m 5): für j 3 bis n-2 und ähnlich für andere glatte Breiten (siehe Kalkulationstabelle UnitGainSmooths. xls). In beiden Fällen ist die ganze Zahl im Nenner die Summe der Koeffizienten im Zähler, die zu einer Einheitsverstärkung führt, die keine Wirkung auf das Signal hat, wo sie eine gerade Linie ist und die den Bereich unter den Spitzen bewahrt. Es ist oft nützlich, eine Glättungsoperation mehrmals anzuwenden, dh ein bereits geglättetes Signal zu glätten, um längere und kompliziertere Glättungen zu erzeugen. Zum Beispiel ist die 5-Punkt-Dreieck glatt oben entspricht zwei Durchläufen eines 3-Punkt rechteckig glatt. Drei Pässe eines rechtwinkligen 3-Punkt-Glatts resultieren in einem 7-Punkt-Pseudo-Gaussian oder Heuhaufen, bei dem die Koeffizienten im Verhältnis 1: 3: 6: 7: 6: 3: 1 liegen. Die allgemeine Regel lautet, dass n Durchläufe einer w-Breitenglättung zu einer kombinierten glatten Breite von n w - n 1 führen. Zum Beispiel führen 3 Durchgänge eines 17-Punkt-Glättchens zu einem 49-Punkt-glatten Ergebnis. Diese Multi-Pass-Glättungen sind effektiver bei der Reduzierung von hochfrequenten Rauschen in dem Signal als ein rechteckiges glattes, aber zeigen eine langsamere Sprungantwort. In all diesen Glätten wird die Breite des glatten m als eine ungerade ganze Zahl gewählt, so daß die glatten Koeffizienten symmetrisch um den zentralen Punkt herum ausgeglichen sind, was wichtig ist, weil sie die x-Achsenposition von Spitzen und anderen Merkmalen in der Signal. (Dies ist besonders kritisch für analytische und spektroskopische Anwendungen, da die Peakpositionen oft wichtige Messziele sind). Man beachte, daß hier angenommen wird, daß die x-Achsenintervalle des Signals gleichförmig sind, d. h. daß die Differenz zwischen den x-Achsenwerten benachbarter Punkte über das ganze Signal gleich ist. Dies wird auch in vielen der anderen in diesem Aufsatz beschriebenen Signalverarbeitungstechniken angenommen und ist eine sehr häufige (aber nicht notwendige) Charakteristik von Signalen, die von automatisierten und computergesteuerten Geräten erfaßt werden. Der Savitzky-Golay glatt basiert auf der Kleinste-Quadrate-Anpassung von Polynomen zu Segmenten der Daten. Der Algorithmus wird in www. wire. tu-bs. de/OLDWEB/mameyer/cmr/savgol. pdf besprochen. Im Vergleich zu den gleitenden durchschnittlichen Glätten ist die Savitzky-Golay glatte weniger effektiv bei der Reduzierung von Rauschen, aber effektiver bei der Beibehaltung der Form des ursprünglichen Signals. Es ist sowohl zur Differenzierung als auch zur Glättung fähig. Der Algorithmus ist komplexer und die Berechnungszeiten sind größer als die glatten Typen, die oben diskutiert wurden, aber mit modernen Computern ist der Unterschied nicht signifikant und Code in verschiedenen Sprachen ist weit verfügbar online verfügbar. Siehe SmoothingComparison. Die Form eines beliebigen Glättungsalgorithmus kann bestimmt werden, indem man diese glatt auf eine Delta-Funktion anwendet. Ein aus allen Nullen bestehendes Signal mit Ausnahme eines Punktes, wie das einfache Matlab / Octave-Skript DeltaTest. m zeigt. Lärmminderung . Glättung reduziert in der Regel das Rauschen in einem Signal. Wenn das Rauschen weiß (dh gleichmäßig über alle Frequenzen verteilt) ist und seine Standardabweichung s ist. Dann beträgt die Standardabweichung des Rauschens, das nach einem Durchgang eines rechteckigen glatten Signals im Signal verbleibt, ungefähr s / sqrt (m), wobei m die glatte Breite ist. Wenn stattdessen eine dreieckige Glattheit verwendet wird, ist das Rauschen etwas geringer, ungefähr s 0,8 / sqrt (m). Glättungsvorgänge können mehrmals angewendet werden, dh ein zuvor geglättetes Signal kann wieder geglättet werden. In manchen Fällen kann dies nützlich sein, wenn es sehr viel hochfrequentes Rauschen im Signal gibt. Jedoch ist die Rauschverminderung für weißes Rauschen weniger in jedem aufeinanderfolgenden glatt. Beispielsweise verringern drei Durchläufe eines rechteckigen Glases das weiße Rauschen um einen Faktor von ungefähr 0,7 / sqrt (m), nur eine leichte Verbesserung gegenüber zwei Durchgängen. Die Häufigkeitsverteilung von Rauschen, bezeichnet durch Rauschfarbe. Wesentlich die Glättungsfähigkeit zur Reduzierung von Rauschen beeinflußt. Die Matlab / Octave-Funktion NoiseColorTest. m vergleicht die Wirkung eines 100-Punkt-Wagens (ungewichteter gleitender Durchschnitt) auf der Standardabweichung von Weiß-, Rosa - und Blau-Rauschen, die alle eine ursprüngliche ungeglättete Standardabweichung von 1,0 haben. Da das Glätten ein Tiefpaßfilterverfahren ist, wirkt es auf niederfrequentes (rosa) Rauschen weniger und auf hochfrequentes (blaues) Rauschen mehr als auf weißes Rauschen. End-Effekte und das Problem der verlorenen Punkte. Man beachte in den obigen Gleichungen, daß die rechtwinklige 3-Punkt-Glattheit nur für j 2 bis n-1 definiert ist. Es gibt nicht genügend Daten in dem Signal, um für den ersten Punkt des Signals (j 1) oder für den letzten Punkt (j n) einen vollständigen 3-Punkt-glatten Verlauf zu definieren. Da es keine Datenpunkte vor dem ersten Punkt oder nach dem letzten Punkt gibt. (In ähnlicher Weise ist ein 5-Punkt-Glatt nur für j 3 bis n-2 definiert und kann daher für die ersten beiden Punkte oder für die letzten beiden Punkte nicht glatt berechnet werden). Im allgemeinen wird für eine m-Breite glatt (m -1) / 2 Punkte am Anfang des Signals und (m -1) / 2 Punkte am Ende des Signals liegen, für das eine vollständige m-Weite glatt ist Kann nicht berechnet werden. Es gibt zwei Ansätze. Man ist, den Verlust von Punkten zu akzeptieren und schneiden Sie diese Punkte oder ersetzen Sie sie mit Nullen in der glatten Signal. (Das ist der Ansatz in den meisten der Zahlen in diesem Papier genommen). Der andere Ansatz besteht darin, schrittweise kleinere Glättungen an den Enden des Signals zu verwenden, z. B. um 2, 3, 5, 7 zu punktieren, für die Signalpunkte 1, 2, 3 und 4 und für die Punkte n, n-1 , N-2, n-3. beziehungsweise. Der spätere Ansatz kann vorzuziehen sein, wenn die Flanken des Signals kritische Informationen enthalten, aber es erhöht die Ausführungszeit. Die fastsmooth Funktion, die unten diskutiert wird, kann eine dieser beiden Methoden verwenden. Beispiele für Glättung. Ein einfaches Beispiel der Glättung ist in Fig. 4 gezeigt. Die linke Hälfte dieses Signals ist ein verrauschter Peak. Die rechte Hälfte ist die gleiche Spitze, nachdem sie einen dreieckigen Glättungsalgorithmus durchlaufen hat. Das Rauschen wird stark reduziert, während der Peak selbst kaum verändert wird. Die Glättung erhöht das Signal-Rausch-Verhältnis und ermöglicht eine genauere Messung der Signalcharakteristiken (Spitzenposition, - höhe, - breite, - fläche usw.) durch Sichtkontrolle. Abbildung 4. Die linke Hälfte dieses Signals ist ein rauschender Peak. Die rechte Hälfte ist die gleiche Spitze, nachdem sie einen Glättungsalgorithmus durchlaufen hat. Das Rauschen wird stark reduziert, während der Peak selbst kaum verändert wird, wodurch es möglich ist, die Peakposition, - höhe und - breite direkt durch graphische oder visuelle Schätzung zu messen (es verbessert jedoch nicht die Messungen, die durch Verfahren der kleinsten Quadrate durchgeführt werden). Je größer die glatte Breite, desto größer die Rauschreduzierung, desto größer ist jedoch die Möglichkeit, dass das Signal durch den Glättvorgang verzerrt wird. Die optimale Wahl der glatten Breite hängt von der Breite und Form des Signals und dem Digitalisierungsintervall ab. Bei Peak-Signalen ist der kritische Faktor das Glättungsverhältnis. Das Verhältnis zwischen der glatten Breite m und der Anzahl der Punkte in der Halbwertsbreite der Spitze. Im allgemeinen verbessert das Erhöhen des Glättungsverhältnisses das Signal / Rausch-Verhältnis, bewirkt jedoch eine Verringerung der Amplitude und eine Erhöhung der Bandbreite des Peaks. Die obigen Figuren zeigen Beispiele für die Wirkung von drei unterschiedlichen glatten Breiten auf verrauschte Gauss-förmige Spitzen. In der Abbildung auf der linken Seite hat der Peak eine (wahre) Höhe von 2,0 und es gibt 80 Punkte in der Halbwertsbreite des Peaks. Die rote Linie ist die ursprüngliche ungeglättete Spitze. Die drei überlagerten grünen Linien sind die Ergebnisse der Glättung dieses Peaks mit einer dreieckigen glatten Breite (von oben nach unten) 7, 25 und 51 Punkten. Da die Peakbreite 80 Punkte beträgt, sind die glatten Verhältnisse dieser drei Glättungen 7/80 0,09, 25/80 0,31 bzw. 51/80 0,64. Wenn die glatte Breite zunimmt, wird das Geräusch progressiv verringert, aber die Peakhöhe wird ebenfalls leicht verringert. Für die größte Glattheit wird die Peakbreite geringfügig erhöht. In der Abbildung rechts hat die ursprüngliche Spitze (in rot) eine echte Höhe von 1,0 und eine halbe Breite von 33 Punkten. Die drei überlagerten grünen Linien sind die Ergebnisse der gleichen drei dreieckigen Glättungen der Breite (von oben nach unten) 7, 25 und 51 Punkte. Da aber die Peakbreite in diesem Fall nur 33 Punkte beträgt, sind die glatten Verhältnisse dieser drei Glättungen um 0,21, 0,76 bzw. 1,55 größer. Sie können sehen, dass der Spitzenverzerrungseffekt (Verringerung der Peakhöhe und Erhöhung der Peakbreite) für den schmaleren Peak größer ist, da die glatten Verhältnisse höher sind. Glatte Verhältnisse von grßer als 1,0 werden selten wegen übermßiger Spitzenverzerrung verwendet.
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